T-Test für unabhängige Stichproben

Wir gehen von folgendem Beispiel aus: Wir erheben zwei Zufallstichproben, wobei nur die Probanden  der einen  Stichprobe  einer  speziellen  experimentellen  Behandlung (etwa die Verabreichung eines Medikaments)  unterzogen  werden. Die andere Stichprobe fungiert als  Kontrollgruppe für Vergleichszwecke.

In  der  Kontrollgruppe erhalten die Probanden  also  in  unserem Beispiel kein Medikament. Die Frage ist nun: Ist der  Unterschied zwischen  dem Mittelwert in der Kontrollgruppe vom Mittelwert  in der behandelten Gruppe statistisch auffällig?

Nehmen  wir an, wir hätten folgendes Ergebnis bei unseren  beiden Stichproben erhalten:

Um diesen Unterschied nun inferenzstatistisch zu bewerten, verwenden wir die gleiche Logik, wie sie bereits bisher zur Anwendung  kam. Wir formulieren zunächst eine Nullhypothese und eine  Alternativhypothese.

 Die  Nullhypothese  lautet: Die  Mittelwerte  beider  Stichproben entstammen  zwei Populationen mit identischem  Mittelwert,  daher gilt:

µ₁= µ₂ bzw. µ₁ - µ₂ = 0

Die Alternativhypothese dagegen lautet:

 µ₁ ≠ µ₂

 Wir fragen:  Wie  wahrscheinlich ist es, unter Geltung der Nullhypothese eine derartige Abweichung zu bekommen? Um diese Wahrscheinlichkeit nun zu berechnen,  benötigen  wir wiederum eine Kennwertverteilung. Unsere  Kennwertverteilung ist in diesem Falle die Verteilung der  Mittelwertsdifferenzen (dies ist die Verteilung der ). Wie man zu dieser Verteilung kommt, kann man sich an  dem folgenden  künstlichen Szenario vergegenwärtigen: Wir ziehen  aus den beiden Populationen immer wieder paarweise unabhängige Stichproben. Für jedes dieser Stichprobenpaare wird die Differenz   berechnet. Die Verteilung dieser Differenzen  ist  unsere gesuchte Kennwertverteilung.

Eine  weitere Frage ist, welche durchschnittliche  Differenz  wir erwarten  können,  wenn beide Stichproben  aus  Populationen  mit identischem  Mittelwert  entstammen.  Diese  erwartete  Differenz entspricht  der  in der  Nullhypothese  beschriebenen  Differenz. Diese ist in unserem Beispiel = 0.

Konkret  stellt  sich  nun die Frage:  Wie wahrscheinlich ist es, aus einer Kennwertverteilung von Mittelwertsdifferenzen mit einem Mittelwert von 0 eine Differenz von 5 ms zu  erhalten - wie in unserem Beispiel.

Dazu  müssen  wir,  wie bereits  gesagt,  die  Kennwertverteilung kennen.  Da wir hier von zwei Stichproben ausgehen, sind uns  die Varianzen in den beiden Populationen nicht bekannt.

Die  Form dieser Kennwertverteilung hängt vom  Stichprobenumfang  ab. Wir müssen zwei Fälle unterscheiden: 

1) Beträgt der Stichprobenumfang je Stichprobe ca. 30 Probanden (Faustregel!!), so  können wir davon ausgehen, dass die Kennverteilung  normalverteilt ist.

2)  Bei  kleineren  Stichprobenumfängen ist  die  Verteilung  der Mittelwertsdifferenzen  t-verteilt.  Voraussetzung  zur   genauen Berechnung  der  t-Verteilung ist aber,  dass  beide  Populationen, aus denen die Daten unserer beiden Stichproben stammen, normalverteilt sind.

1) Vorgehensweise bei großen Stichprobenumfängen

a) Wir berechnen die Differenz der Mittelwerte, also 110 - 105

 b)  Da  die  Kennwertverteilung  bei  großen  Stichprobenumfängen normalverteilt ist, verwenden wir die z-Transformation

c)  Die  Standardabweichung  der  Mittelwertsdifferenzen  -  auch Standardfehler  der Mittelwertsdifferenz genannt - berechnen  wir nach der Formel:

d)  Da die Varianzen der beiden Populationen nicht bekannt  sind, müssen sie aus den beiden Stichprobenvarianzen geschätzt werden.

Der  Stichprobenumfang der ersten Stichprobe sei: n₁ =  125;  der zweiten Stichprobe n₂ = 150.

Die geschätzten Populationsvarianzen erhalten wir, indem wir  die Summe der Abweichungsquadrate in den beiden Stichproben (=  Summe der ) jeweils durch n - 1 dividieren.

Nehmen wir an, wir hätten folgende Schätzungen der Populationsvarianzen erhalten:

σ₁² = 12,5 ; σ₂² = 10.

Den  Standardfehler der Mittelwertsdifferenzen berechnen wir  nun nach der Formel:

e) Wir erhalten den folgenden z-Wert:

Ein  z von 12,19 ist deutlich größer als ein z_kritisch  von  1,96 (bei zweiseitiger Hypothesenprüfung) und damit ein hoch  signifikantes Ergebnis.

2) Vorgehensweise bei kleineren Stichprobenumfängen

a)  Wir berechnen die Differenz der Stichprobenmittelwerte,  also 110 - 105.

b)  Bei kleineren Stichprobenumfängen ist die  Kennwertverteilung (=  die Verteilung der Mittelwertsdifferenzen) unter der  Voraussetzung, dass die Daten in der Population normalverteilt sind,  t-verteilt. Wir verwenden daher die t-Transformation.

c)  Bei kleineren Stichprobenumfängen ist an die  Berechnung  der Standardabweichung der Mittelwertsdifferenzen - auch Standardfehler  der Mittelwertsdifferenz genannt - eine weitere  wesentliche Voraussetzung geknüpft: Um einen t-Test für unabhängige Stichproben  berechnen  zu  können, müssen die Varianzen  in  den  beiden Populationen, aus denen die Stichproben stammen, gleich sein.

Wegen  dieser  unterstellten Gleichheit der  Varianzen  wird  der geschätzte Standardfehler der Mittelwertsdifferenzen etwas anders als  im ersten Falle berechnet. Aus der Gleichheit der  Varianzen folgt nämlich:

σ₁² = σ₂²

Da  laut Voraussetzung die Varianzen der beiden Stichproben  zwei Schätzungen der gleichen Populationsvarianz darstellen, berechnen eine gemeinsame Schätzung der Varianz nach der Formel:

(Man beachte: σ₁² und σ₂² sind die jeweiligen Schätzungen der Populationsvarianz, basierend auf den Streuungen in den beiden Stichproben!)

Für  den  Standardfehler der Mittelwertsdifferenzen  ergibt  sich daraus:

d)  Der Stichprobenumfang der ersten Stichprobe sei: N₁ = 5;  der zweiten Stichprobe N₂ = 6.

Die geschätzten Populationsvarianzen erhalten wir auf die gleiche Weise wie im Fall 1: Indem wir nämlich die Summe der Abweichungsquadrate  in  den beiden Stichproben (Summe der ) jeweils durch n - 1 dividieren.

Gehen wir wiederum von den gleichen Schätzungen der beiden  Populationsvarianzen aus:

σ₁² = 12,5 ; σ₂² = 10.

Die gemeinsame Schätzung der Populationsvarianz ergibt dann:

= 11.11

= 2.018

e) Wir erhalten den folgenden t-Wert:

= 5 / 2.018 = 2.47

 Dieser t-Wert ist mit n₁ - 1 + n₂ - 1 = n₁ + n₂ - 2 Freiheitsgraden t-verteilt.

Wir  erhalten  auf  einem 5% Signifikanzniveau bei 5+6 -  2  =  9 Freiheitsgraden im Falle einer zweiseitigen Hypothesenprüfung ein t_kritisch von 2,262

Ein t von 2,47 ist größer als ein t_kritisch  von 2,262 (bei  zweiseitiger  Hypothesenprüfung)  und damit können wir die  H₀  verwerfen und erhalten ein signifikantes Ergebnis.