Binomialverteilung

 

Unter Nützung der Regeln der Kombinatorik läßt sich nun eine  der wichtigsten Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie ermitteln: die Binomialverteilung, auch Bernoulli Verteilung genannt.

Jakob  Bernoulli hat sich als erster mit  folgenden  Experimenten befaßt:  Betrachten  wir ein Experiment mit  nur  zwei  möglichen Ausgängen. Wir haben es in diesem Falle also nur mit zwei Elementarereignissen  zu tun. Beispiele: Das Werfen von Kopf oder  Zahl bei  einer  Münze; das Würfel einer Sechs oder keiner  Sechs  bei einer Münze. Da es sich nur um zwei Elementarereignisse  handelt, können  wir  das eine Elementarerignis auch als  Erfolg  und  das zweite schlicht als Mißerfolg bezeichnen. Die  Wahrscheinlichkeit des  Erfolgs bezeichnet man als p und die Wahrscheinlichkeit  für Mißerfolg  als  q. Die Wahrscheinlichkeit q = 1 -p, da  die  sich gegenseitig   ausschließenden  Ereignisse  zusammengenommen   das sichere Ereignis = 1 bilden. Dazu zwei Beispiele: Im Falle  eines Münzwurfes  ist p = 0.5 und q = 0.5; im Falle des Würfelns  eines Sechsers ist p = 1/6 und q = 5/6.

Dieses  Experiment  wird nun n mal durchgeführt.  Man  bezeichnet eine derartige Versuchsreihe auch als Bernoulli-Prozeß.

Worum es nun konkret geht, ist die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit  bei  insgesamt  n Versuchen  sich  k-mal  das  Ereignis "Erfolg"  einstellt.  Eine  typische Frage dafür  ist  also:  Wie wahrscheinlich  ist  es,  bei 5 Münzwürfen gerade  3  mal  Erfolg (Erfolg  sei beispielsweise Wappen) zu erzielen. Theoretisch  ist es  möglich, bei 5 Würfen von 0 bis zu 5 mal Wappen zu  bekommen. Nun  geht es also darum, dafür die verschiedenen  Wahrscheinlichkeiten  zu berechnen. Versuchen wir vorerst, für eine  ganz  spezielle Folge die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Nehmen wir  an, wir hätten bei unserem Experiment das folgende Ergebnis  erzielt: W,  W, Z, Z, W (W bedeutet Wappen; Z bedeutet Zahl). Da die  einzelnen  Elementarereignis  voneinander unabhängig  sind  und  wir wissen  wollen,  mit welcher Wahrscheinlichkeit  diese  spezielle Folge von Elementarereignissen gemeisam auftritt, kommt hier  das Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse zum Tragen. Die Wahrscheinlichkeit  für  das Auftreten von "W, W, Z,  Z,  W"  ist daher gleich p*p*q*q*p = 1/2^⁵.

 

Wir  müssen allerdings daran denken, daß es sich hierbei  um  die Wahrscheinlichkeit  für die spezielle Ereignisfolge "W, W, Z,  Z, W"  handelt. Was uns aber interessiert, ist  die  Wahrscheinlichkeit,  3 mal Wappen zu bekommen, u.zw. unabhängig davon, an  welcher Stelle in der Ereignisfolge Wappen auftritt. Dreimal  Wappen kann  nun aber ingesamt in den folgenden verschiedenen  Ereignisfolgen auftreten:

 

(Z, Z, W, W, W)

(Z, W, Z, W, W)

(Z, W, W, Z, W)

(Z, W, W, W, Z)

(W, Z, W, W, Z)

(W, Z, Z, W, W)

(W, Z, W, Z, W)

(W, W, Z, Z, W)

(W, W, Z, W, Z)

(W, W, W, Z, Z)

 

Da  alle diese Ereignisfolgen voneinander unabhängig sind,  kommt zur Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit das  Additionstheorem für  voneinander  unabhängige Ereignisse zum  Tragen.  Die  Wahrscheinlichkeit, von 5 Würfen drei mal Wappen zu bekommen, beträgt daher: 10 * 1/2^³ * 1/2^² = 10 * 1/2^⁵ = 0,3125

 

Statt die verschiedenen Vorkommnisse der Reihe nach  auszuprobieren,  ist es praktischer, dazu die Regel 3a (siehe Kombinatorik) - Kombinationen  ohne Wiederholung  - anzuwenden. Damit es einsichtig wird, warum  hier gerade  Regel 3a zur Anwendung kommt, überlegen wir uns das  folgende:  Zuerst  numerieren wir die Ereignisfolge der  Reihe  nach durch. Dem ersten Münzwurf ordnen wir die Zahl 1 zu, dem zweiten die Zahl 2, usw. Bei fünf Münzwürfen erhalten wir auf diese Weise die  fünf Zahlen 1,2,3,4,5. Aus diesen 5 Zahlen wählen  wir  drei Zahlen aus, die als Erfolg (was in unserem Beispiel Wappen bedeutet) bewertet werden. Damit kommt Regel 3a zur Anwendung:

 

 

Dies  entspricht der Anzahl, die wir oben zunächst  durch  reines Ausprobieren gewonnen haben.

Die  Wahrscheinlichkeit, bei insgesamt 5 Münzwürfen 3 mal  Wappen zu bekommen, beträgt daher:  * 1/2^³ * 1/2^²

 

Ausgehend  von dieser Formel können wir ganz analog dazu nun  die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, bei insgesamt 5 Münzwürfen 0, 1, 2, 3, 4, 5-mal Wappen zu bekommen.

 

Das ergibt:

 

 

k	P (k|5) =
0	= 0.03125
1	= 0.15625
2	= 0.3125
3	= 0.3125
4	= 0.15625
5	= 0.03125

 

 

Die Summe aller dieser 6 Wahrscheinlichkeiten ergibt 1!

 

Die  allgemeine Formel zur Berechnung dieser  Wahrscheinlickeiten ist:

 

 

Diese Berechnungsformel wird als Wahrscheinlichkeitsfunktion  der Binomialverteilung bezeichnet.