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Spezielle Eigenschaften der Binomialverteilung
Wir unterscheiden:
1) die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Variablen
2) die Verteilungsfunktion einer diskreten Variablen.
1) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Variablen
haben wir im Falle der Binomialverteilung bereits kennengelernt. Sie ist nichts
anderes als die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung, wie wir sie
bereits kennengelernt haben. In grafischer Darstellung werden auf der x-Achse
die verschiedenen k’s und auf der y-Achse die verschiedenen
Wahrscheinlichkeiten auftragen. In dem bereits erwähnten Beispiel einer
Binomialverteilung mit n=6 und p= 1/6 erhalten wir folgende Darstellung:
Binomialverteilung
2) Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
k erhalten wir einfach dadurch, dass wir von links beginnend die den
verschiedenen k’s zugeordneten Wahrscheinlichkeiten aufkumulieren. Spielen wir
diesen Fall für n = 6 und p=1/6 einmal durch:
Solange k < 0 ist, so ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit gleich 0. Als
nächster Wert kommt bei einer diskreten Zufallsvariablen nur der Wert k = 0 in
Frage. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit kennen wir bereits. Sie beträgt
0.334897977. Da es zwischen k<0 und k=0 keine Zwischenwerte gibt, springt
die Wahrscheinlichkeit von 0 auf 0.334897977. Der nächste Wert von k ist gleich
1. Die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung liefert uns hierfür den Wert
P= 0.401877572. Wollen wir nun wissen, wie wahrscheinlich es ist, von 6-maligem
Würfeln 0-mal oder 1-mal eine 6 zu bekommen, so müssen wir die beiden
Wahrscheinlichkeiten nur summieren: Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt
0.334897977 + 0.401877572 = 0.736775549. Wollen wir nun wissen, wie
wahrscheinlich es ist, 0-mal oder 1-mal oder 2-mal eine 6 zu bekommen, so
ergibt sich die Summe: 0.334897977 + 0.401877572 + 0.200938786 = 0.937714335.
Da es sich bei den verschiedenen k's um diskrete Werte handelt, erhalten wir in
der graphische Darstellung eine sogenannte Treppenfunktion, die bis zum Wert
von p = 1 ansteigt.
Treppenfunktion
Wir können auf diese Weise grafisch veranschaulichen, wie wahrscheinlich es ist,
bei 6-maligem Würfeln 0-mal oder 1-mal oder 2-mal oder 3-mal oder 4-mal eine 6
zu bekommen (die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt in der Summe 0,999335562).
Wollen wir umgekehrt nun die Wahrscheinlichkeit wissen 5-mal oder mehr eine 6 zu
würfeln, so können wir auch die soeben berechnete Summe von 1 subtrahieren: die
Wahrscheinlichkeit 5-mal oder mehr bei 6-maligem Würfeln eine 6 zu bekommen ist
daher ungefähr 1 - 0,999335562 = 0.000664437 - was nicht gerade umwerfend ist.
Wollen wir nun hingegen aber die Wahrscheinlichkeit berechnen, von 1000 Würfen
800-mal oder mehr eine sechs zu bekommen, so wird die Berechnung - falls wir
hierzu die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung verwenden -
ziemlich aufwändig. Wir können uns aber zur Erleichterung unserer Rechenaufgabe
eine bestimmte Eigenschaft der Binomialverteilung zunutze machen. Man kann
nämlich zeigen, dass bei großem n (also bei oftmaliger Wiederholung unseres
Bernoulli-Versuches) die Binomialverteilung in eine Normalverteilung übergeht.
Weiters lässt sich zeigen, dass die Näherung der Binomialverteilung an die
Normalverteilung auch bereits bei kleinerem n hinreichend gut ist, falls p (die
Wahrscheinlichkeit für Erfolg) in der Nähe von 0.5 liegt. Ist p ungleich q, so
ist die Binomialverteilung nicht symmetrisch und daher eine Approximation an
die Normalverteilung bei kleinerem n schwieriger. Nach einer Faustregel von
Sachs (1971) lässt sich auch eine Binomialverteilung, in der p ungleich q ist,
in eine Normalverteilung überführen, wenn n*p*q = 9 ist.
Gehen wir also im Folgenden von einer fiktiven Binomialverteilung aus, die sich
hinreichend gut durch eine Normalverteilung approximieren lässt. Um zu
verstehen, welche Eigenschaften eine solche an die Normalverteilung angenäherte
Binomialverteilung hat, benötigen wir dreierlei:
1. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Variable
2. Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Variable
3. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung, angenähert an die
Normalverteilung
1) Die Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer
kontinuierlichen Variable
Diese Funktion ist in diesem Zusammenhang weniger von mathematischem Interesse.
Wichtig dabei ist nur zu beachten, dass wir es mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer kontinuierlichen Variablen zu tun haben. Da
hier nicht einzelnen diskreten Werten - wie im Falle der Binomialverteilung -
eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird, sondern immer nur einem bestimmten
Bereich von x-Werten, spricht man hier von einer sogenannten
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen
Wertes einer kontinuierlichen Variablen wäre gleich Null, da sich bei einer
kontinuierlichen Variablen die Wahrscheinlichkeit nicht als einzelner
Punktwert, sondern nur als Fläche angeben lässt. Rückt diese Fläche gegen Null,
so geht auch die entsprechende Wahrscheinlichkeit gegen Null. (Beispiel:
Zwischen einer Reaktionszeit von 30,0001 und 30,0002 gibt es theoretisch
unendlich viele Zwischenwerte; wäre die Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten
Punkt einer kontinuierlichen Variablen nicht gleich Null, so würden wir eine
unendliche Summe und nicht 1 bekommen - was nicht der Fall sein kann).
Wenn man alle Werte der Normalverteilung z-transformiert:
so erhält man eine Standardnormalverteilung, mit einem Mittelwert von 0
und einer Standardabweichung von 1. Die Gesamtfläche unter dieser
Standardnormalverteilung geht von z = - unendlich bis z = + unendlich und ist
gleich 1.
2) Aus der Standardnormalverteilung erhält man nun die Verteilungsfunktion
einer kontinuierlichen Variablen, indem man von links beginnend die
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen z-Werte aufkumuliert. Dies erfolgt
ganz ähnlich wie bereits bei der Binomialverteilung. Wir beginnen von ganz
links (also von z= - unendlich) und berechnen die Wahrscheinlichkeit bis zu
einem gewünschten z-Wert. Da wir es nun aber nicht mit einer diskreten
Zufallsvariablen, also auch nicht mit Einzelwahrscheinlichkeiten zu tun haben,
tritt an die Stelle einer Summe der Flächenanteil von z = -unendlich bis zu dem
gewünschten z-Wert. Dieser Flächenanteil wird durch das Integral der
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion berechnet.
Statt einer Treppenfunktion erhalten wir auf diese Weise eine S-Kurve, die bei
y= 0 beginnt, dann bis in die Nähe des Maximums der Normalverteilung ansteigt
(dieses Maximum ist der Mittelwert der Normalverteilung), um sich dann rasch an
1 zu nähern. (Es handelt sich hierbei um eine ähnliche Funktion wie die bereits
besprochene Summenprozentkurve). Diese Verteilungsfunktion ist auch bekannt
unter dem Namen Queteletsche Kurve.
Um sich die Bedeutung dieser Kurve von Quetelet an einem anschaulichen Vergleich
zu verdeutlichen, gehe ich kurz auf eine Anekdote des Statistikers Van der
Waerden ein, der bezüglich dieser Kurve folgendes berichtet hat:
"Lebhaft erinnere ich mich noch, wie mein Vater mich als Knaben an den Rand der
Stadt führte, wo am Ufer die Weiden standen und mich 100 Weidenblätter
willkürlich pflücken ließ. Nach Aussonderung der beschädigten Spitzen blieben
noch 89 unversehrte Blätter übrig, die wir dann zu Hause, nach abnehmender
Größe geordnet, wie Soldaten in Reih und Glied stellten. Dann zog mein Vater
durch die Spitzen eine gebogene Linie und sagte: 'Dies ist die Kurve von
QUETELET. Aus ihr siehst du, wie die Mittelmäßigen immer die große Mehrheit
bilden und nur wenige nach oben und unten zurückbleiben." (zitiert nach
Meschkowski, 115)
3) Die an eine Normalverteilung approximierte Binomialverteilung hat einen
Mittelwert von µ = n*p und eine Varianz von s²= n*p*q.
Der Mittelwert ist zugleich das Maximum dieser symmetrischen und glockenförmigen
Kurve. Was das bedeutet, kann man sich unschwer am Beispiel von 1000-maligem
Würfeln überlegen. Da in diesem Beispiel das n sehr groß ist, lässt sich diese
Binomialverteilung gut durch eine Normalverteilung approximieren. Diese
Verteilung erreicht ihr Maximum bei n*p = 1000*1/6 = 166.66666 Es ist daher
diejenige relative Häufigkeit am wahrscheinlichsten, die gleich p (= 1/6) ist.
Weiters kann man zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Wert in der Nähe
dieses Maximums rein per Zufall zu bekommen, sehr groß ist. (Dieser wichtige
Umstand der Wahrscheinlichkeitstheorie wird auch als das sogenannte
Bernoullische Gesetz der großen Zahlen bezeichnet.) Die an die Normalverteilung
approximierte Binomialverteilung lässt sich durch folgende Gleichung
ausdrücken:
Dies entspricht der Formel der Normalverteilung, wenn wir in diese nur den
Mittelwert von n*p und die Varianz von n*p*q einsetzen.
Was diese zunächst theoretischen Ausführungen bedeuten, versteht man am besten
vor dem Hintergrund unserer Ausgangsfrage: Wie können wir unter Nutzung der
Approximation der Binomialverteilung an die Normalverteilung auf bequemere Art
und Weise die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, von 1000-maligem Würfeln
800-mal oder mehr eine 6 zu bekommen.
Dazu müssen wir zunächst von folgender Überlegung ausgehen: Bisher haben wir die
einzelnen möglichen k's unserer Binomialverteilung als Werte einer diskreten
Zufallsvariablen behandelt. Angenähert an eine Normalverteilung, müssen wir nun
aber davon ausgehen, dass diesen verschiedenen diskreten k's eine
kontinuierliche Zufallsvariable zugrunde liegt. Die einzelnen k's sind dazu nur
die Klassenmitten unserer kontinuierlichen Variablen. Einen ähnlichen Vorgang
haben wir bereits in der deskriptiven Statistik kennengelernt. Eine
kontinuierliche Variable wurde durch Klassenbildung in eine diskrete Variable
umgewandelt und bei der graphischen Darstellung der Klassenhäufigkeiten wurden
auf der x-Achse die Klassenmitten aufgetragen.
Approximation unserer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung
800-mal eine Sechs zu
würfeln, um auf unser Ausgangsbeispiel zurückzukommen, lässt sich
als
Klassenmitte des Intervalls
799,5 bis 800,5 interpretieren. 800-mal oder mehr eine sechs
zu würfeln beginnt also bei der Klassenuntergrenze
799,5. Nehmen wir mal an, die Verteilung lässt sich gut durch eine
Normalverteilung repräsentieren, so können wir die untere Klassengrenze
z-transformieren. Dies
erfolgt nach
der Formel (man beachte:
n*p entspricht dem Mittelwert und n*p*q der Varianz der Binomialverteilung):
Der Fläche von z = -unendlich bis zu 53.7 in einer Standardnormalverteilung
entspricht die Gesamtwahrscheinlichkeit in einer Binomialverteilung, weniger
als 800-mal eine 6 zu würfeln. (d.h.: 0-mal, 1-mal, 2-mal, 3-mal, ... 700-mal,
..., 799-mal)
Da die Standardnormalverteilung normiert ist - mit einem Mittelwert von 0 und
einer Standardabweichung von 1 - können wir diese Wahrscheinlichkeit in einer
Tabelle nachschlagen.
[Achtung: Normalverteilung und Standardnormalverteilung haben gleiche
Flächenanteile]
In unserem extremen Beispiel ist indes unser z-Wert so groß, dass er in den
meisten Tabellen nicht mehr angegeben ist. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit,
bis zu 800-mal eine 6 zu würfeln (bei 1000 Gesamtversuchen) liegt bei
0.999999999 usw., also nahezu bei 1. Die Wahrscheinlichkeit, 800-mal oder mehr
eine 6 zu bekommen, ist dann die gesuchte Überschreitungswahrscheinlichkeit,
also 1 - 0.99999999. Diese Wahrscheinlichkeit liegt nahezu bei Null. Wir können
also getrost einen Spieler, der 800 mal oder mehr bei 1000 Würfen eine 6
bekommt, als Falschspieler bezeichnen bzw. die Unschuldsbehauptung verwerfen.
Was nun in dem konkreten Beispiel vorgeführt wurde, lässt sich allgemein so
ausdrücken: Um die Überschreitungswahrscheinlichkeit für ein gegebenes k einer
Binomialverteilung zu berechnen, verwendet man bei einem großen n folgende
Approximationsformel:
Zu diesem z-Wert wird in der Standardnormalverteilungstabelle die
Wahrscheinlichkeit aufgesucht. Die Überschreitungswahrscheinlichkeit ist nun
nichts anderes als 1 minus diese nachgeschlagene Wahrscheinlichkeit.
Dabei gehen wir von einer doppelten Entsprechung aus:
1) Der Wahrscheinlichkeit bis zu 800 eine 6 zu würfeln, ist die aufkumulierte
Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung für 0-mal, 1-mal, 2-mal, … bis zu
799-mal eine 6 zu würfeln.
2) Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Flächenanteil in einer
Normalverteilung mit einem Mittelwert von 800*(1/6) und einer Varianz von
800*(1/6)*(5/6) von –unendlich bis zu 799,5.
3) Diese Wahrscheinlichkeit wiederum ist gleich dem Flächenanteil in einer
Standardnormalverteilung von –unendlich bis zu dem z-transformierten Wert von
799,5 also bis zu 53, was sich aus der z-Tabelle ablesen lässt.
Nur wegen dieser doppelten Entsprechung macht es einen Sinn, die
Wahrscheinlichkeit über die z-Tabelle zu bestimmen!
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